QTT分解介绍
QTT（Quantics Tensor Train）分解是一种适用于任意分层张量(包含多维数组)的张量分解方法, 通过对数组的反复折叠该分解可以达到降维和特征提取的作用。QTT已被证明是一种基于流形学习的降维工具和多尺度的特征提取工具。
定义：给定一个分层张量(包含向量、矩阵等多维数组)A，如果其有如下表示，
其中后面d-1个QTT核满足右正交条件, 则称之为A的QTT分解。
工具箱介绍
这是一个用MATLAB语言写的QTT-Toolbox，免费提供大家使用,使用后请注明引用,谢谢。工具箱将分层张量新定义成了一个类，分层张量之间的大部分运算都已实现。通过这个模块化编程，我们能更加简单的扩展编程。如果读者发现函数有bug或者实现算法能加速，请邮件告之作者，谢谢。
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JSong,20-Jul-2015
Last Revision: 11-Aug-2015.
Github:http://github.com/gasongjian/QTT/
citition: 基于量子化张量列(QTT)模型的特征提取
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1.自定义类 layer_tensor(分层张量)
不同于TT-Toolbox, QTT-Toolbox中每一个QTT核以分层张量的形式存储, QTT分解相当于将以一个多维数组分解成多个分层张量的某种乘积。
目前分层张量已经实现如下功能：l打头的代表外层用矩阵乘法,lk打头代表外层用kronecker乘积，u打头代表算子作用于子张量。
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初始化
A=rand(2,3,4,5);%一个大小为2*5，子模数为3*4的分层张量 lt=layer_tensor(A); lt=layer_tensor(A(:),[2;5],[3;4]); %给定大小和子模数
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元素引用和赋值
用圆括号引用子张量, 用大括号引用元素(见论文).
r=lt.size; scale=lt.scale; A=lt(1,2); A=lt(1:2,5); A=lt{3,4}; lt(1,1)=A;
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分层kronecker乘积
为加快速度，本工具箱将该运算转化成了矩阵乘法，再经过一定的置换得到新的分层张量，具体可参见论文。
lt=lkron(lt1,lt2); % lt(1,1)=\sum kron(lt1(1,i),lt2(i,1))
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分层外积
为加快速度，该运算的实现利用了矩阵乘法和一定的置换, 具体可参见论文。
louter(lt1,lt2);
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广义张量积
利用该运算，可以简单实现两个QTT格式下的矩阵之间的乘法。
lktimes(lt1,lt2,types); % 可验证下面两个表达式相等 L1=lktimes(lkron(lt1,lt2),lkron(lt3,lt4),types); L2=lkron(lktimes(lt1,lt3,types),lktimes(lt2,lt4,types)); isequal(L1,L2)
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其他
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double：转换成多维数组, 如果大小为1, 则转化为子张量 size： 默认返回分层张量的大小,如上例中的[2;5]ctranspose: 外转置, lt1=lt'; 则lt1大小为534*2；utranspose： 内转置, 如果子张量是矩阵，则转置所有子张量udiag： 内对角化, 子张量是向量或者矩阵lt2cell： 将分层张量转化为2*5的cell, 每一个cell内都是一个子张量ltfun： 类似于cellfun,非常实用的函数。 矩阵情形中ltfun(lt,@(x)x',[4;3])等价于utransposeminus,plus： 加法和减法
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2.QTT分解
张量的基本运算：
nkron: 张量的Kronecker乘法，要求两个张量的维数相同outer：张量的外积gtimes:张量的广义乘法
QTT分解函数：
qtt：适用于多维数组的QTT分解gqtt： 适用于任意分层张量的QTT分解，同时也支持多维数组.采用方法：循环
其他函数：
qtt2ltcore:将qtt返回的结构体转化成gqtt函数的输出格式ltsplit:获取QTT分解的QTT分量clkron: 适用于元胞的lkron函数，可用于QTT格式的还原ltextend:适用于分层张量的延拓函数demo_feature_detection:一个简单的例子
使用方法：
x=rand(6^5,1);y=2*x+rand(6^5,1)*0.1;
A=[x';y'];
A=layer_tensor(A(:),[2;1],[6^5]);
ltcore=gqtt(A,[6;6;6;6;6],1e-4,'sym');
A1=clkron(ltcore);
X=ltsplit(clkron(ltcore(1:3)),clkron(ltcore(4:5)),'kron');
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